"Geometria Analitica" Matematicas III

viernes, 1 de noviembre de 2013

La Circunferencia

Ecuación de la Circunferencia de centro (h,k) y Radio r. Consideramos la siguiente gráfica y consideramos un punto cualquiera de coordenadas P(X,Y):

Consideramos el triángulo CPQ y por diferentes de segmentos determinaremos el valor de los catetos:

Por teorema de Pitágoras: ( X - h )² + ( Y - k )² = r² Ecuación de la Circunferencia fuera del Origen.

Ejemplos:

1.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (4,-3) y radio igual a 5. Trazar el lugar geométrico ( gráfica).

SOLUCIÓN:

Sustituyendo h=4, k=-3, r=5, en la ecuación.

( X - h )² + ( Y + k )² = r²

( X - 4 )² + ( Y + 3 )² = 25

ó bien desarrollando los binomios:

X² - 8X + 16 + Y² + 6Y + 9 = 25

X² + Y² - 8X + 6Y = 0

Ejemplo:

2.- Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia X² + Y² - 8X + 6Y - 16 = 0

SOLUCIÓN:

X² - 8X + Y² + 6Y = 16

X² - 8X + 16 + Y² + 6Y+ 9 = 16 + 16 + 9

( X - 4 )² + ( Y + 3 )² =

Que es la forma ( X - h )² + ( Y - k )² = r²

Luego el centro es el punto ( 4 , -3 ) y el radio

EJERCICIOS:

PROBLEMAS PROPUESTOS

I.- Determina la respectiva ecuación de la Circunferencia, las coordenadas del centro ( h , k ), longitud del Radio y trazar su lugar geométrico ( gráfica ), en función de las siguientes condiciones;

1) De centro el punto ( -2 , 5 ) y el radio igual a 4.

SOLUCIÓN:
( X + 2 )² + ( Y - 5 )² = 16
X² + Y² + 4X - 10Y + 13 = 16

2) De centro ( 4 , -3 ) y diámetro igual a 6.

SOLUCIÓN:( X - 4 )² + ( Y + 3 )² = 9

X² + Y² - 8X + 6Y + 16 = 0

3) El diámetro es el segmento determinado por los puntos A( -3 , 3 ) y B( 4 , 7 ).

SOLUCIÓN:

+ ( Y + 5 )² = 16
4X² - 4X + 4Y² + 40Y + 37 = 0

4) De centro ( 6 , 1 ) y que pasa por el punto ( 9 , 3)

SOLUCIÓN:
( X - 6 )² + ( Y - 1 )² = 13
X² + Y² - 12X - 2Y + 24 = 0

1Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:

2Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.

3Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

4Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

5 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación

, y que pasa por el punto (-3,4).

LES DESEO EXITO EN SUS EXAMENES :)

lunes, 7 de octubre de 2013

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Y LA LINEA RECTA

FORMULAS

Ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0

Ecuación pendiente ordenada al origen: y = mx + b

Rectas paralelas m1 =m2

Rectas perpendiculares m1= - 1

Ecuación punto pendiente: y-y1 = m(x-x1)

Forma Simétrica x + y =1
a b

Pendiente de una Recta: m= y2-y1
x2-x1

Forma punto-pendiente y Pte- ordenada al origen

Ejemplo 1:

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,− 2) y tiene como pendiente m= 4 .

y-(-2) =4(x-3)
y+2=4x-12
4x-y-14=0

Ejemplo 2:

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(− 3,1) y su pendiente es m= -2/5.

y-1 = -2/5 (x-(-3))

5(y-1) = -2(x+3)

5y-5 = -2x-6

2x+5y+1=0

Ejercicio 3:

Encuentra la ecuacion de la recta que pasa por el punto A(2,4) y es paralela a la recta y= 3x-2

Primero vemos que m=3, por la forma pte. ordenada: y=mx+b

tomamos la pendiente y el punto y en la ecuacion punto-pte. la sustituimos y encontramos la ec. grl.

y-4 =3 (x-2)
y-4= 3x-6
3x-y-2 =0
entonces esta es la ec. grl. que es paralela a la y=3x-2 y ademas pasa por el punto A(2,4)

Ejercicio 4:

Encuentra la ecuacion de la recta que pasa por el punto A(2,4) y es perpendicular a la recta 3x-y-2=0

Primero vemos que m=3, por la forma pte. ordenada: y=mx+b

tomamos la pendiente, la invertimos y le cambiamos el signo, entonces te queda m= -1/3 tambien el punto y en la ecuacion punto-pte. la sustituimos y encontramos la ec. grl.

y-4 =-1/3 (x-2)
3(y-4)= -1(x-2)
3y-12= -x+2
x+3y-14=0
entonces esta es la ec. grl. que es perpendicular a la 3x-y-2=0
y ademas pasa por el punto A(2,4)

FORMA DE INTERSECCIÓN A LOS EJES

Esta formula es utilizada también para encontrar la intersección en los ejes coordenados, cada valor debajo de la variable es el valor de intersección.

Forma Simétrica x + y =1
a b

Ejercicio 1: si la abscisa en el origen es 5 y la ordenada en el origen es -6, entonces cual es la ecuacion general de la recta.

Esto quiere decir que:

abscisa =x=5

ordenada=y=-6

x + y =1

5 -6

Esta es la forma simétrica representada, pero también se tiene que convertir en ec. grl.

se buscan los comunes denominadores, en este caso es el 30. ya que es el producto de los dos denominadores.

30( x - y =1)

5 6

30/5 x - 30/6 y= 30

6x-5y -30=0

esta seria la ec. grl.

domingo, 22 de septiembre de 2013

EJERCICIOS DE PRACTICA PARA SU EXAMEN PARCIAL

ESPERO SEAN DE UTILIDAD

ÉXITO SIEMPRE :)

1) Calcular la distancia entre los dos puntos:

a) A (4 , 5) y B( 1 , 3)

b) K(-2 ,-3) y L(-3 ,-5)

c) R(2 , 3) y S( ½ , -1/2)

2) Calcular el perímetro del polígono cuyos vértices son:

a) A(-4,6), B(6,2) , C(4,-4).

b) P(-4,0) , Q(0,6) , S(5,0)

c) N(-1,2) , P(-3,-1) ,Q(5,-1) , S(3,2)

3) Verifique que los triángulos que tienen por vértices los siguientes puntos son Isósceles

a) A(1,-2), B(4,2) , C(-3,-5)

b) S(-2,2) , T(6,6) , R(2,-2)

4) Calcular el área del triángulo cuyos vértices son:

a) P(-6,-6), Q(-2,8), T(4,2)

b) W(4 ,5) , T(-5,1) , G(7,-4)

c) M(0,9) , S(-4,-1) , B(3,2)

5) Demostrar que los puntos son colineales : P(-3,-2) ,Q(5,2) , R(9,4)

7) La distancia entre A y B es 5 unidades. Si A (7,1) y B(3,y).Halle “y”

8) La distancia entre A y B es 10 unidades. Si A(x,3) y B( -3,6) .Halle “x”

11) Los siguientes pares de puntos son los extremos de un segmento. Determine su punto medio de cada segmento:
a) A (1,2) y B(1,8)
b) A(-4,5) y B(3,6)

12) Se tiene las coordenadas de uno de los extremos de un segmento y su punto medio M. Halle las coordenadas del otro extremo.

a) S(6,4) y M(4,3)
b) T(4,1) y M(9,1)
c) F(8,-4) y M(3,-3)

13) Los vértices de un triángulo son los puntos A(-1,-2) ; B(-3,-6) y C(3,4).Halla la longitud de sus medianas

14) Determine el valor de “x” para que los puntos K(-2,5) , T(1,3) y Q(x,-1) sean colineales

15. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos B(-3,-6) y C(3,4).

16. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos B(3, 16) y C(3,4).

17. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos B (-3,-6) y C(-7,-4).

18. Comprueba que los puntos son colineales A(-4,-1), B (2,2) y C(8,-5). (tienen igual pendiente)

Espero les sea de utilidad :)

CONSEJOS PARA APRENDER MATEMÁTICA

“No puedo, soy malo para Matemáticas”, es la frase que muchos profesores y padres han escuchado de sus alumnos e hijos que luchan para entender desde las divisiones hasta algebra.

El profesor y doctor en la materia, Jerry Brodkey, por años ha visto las caras de angustia de miles de jóvenes que se rinden ante los números. Es por esto, que el especialista creó una lista de recomendaciones para que cualquier persona pueda tener éxito en Matemática y no morir en el intento.

Según Education.com las recomendaciones van desde hacer todas las tareas del curso hasta encontrar a un amigo no le cueste tanto el ramo.

1. Hacer todas las tareas. No hay que pensar los ejercicios como una opción. De esta forma, aclaró el experto, los alumnos podrán practicar y dominar las matemáticas. Para esto, es necesario establecer un horario y lugar de estudios.

2. Lo ideal es no faltar a clases porque, según Brodkey, las cátedras de Matemática avanzan con rapidez por lo que el profesor enseña un nuevo concepto todos los días. “Lo que los estudiantes aprenden hoy lo construyen mañana”, dijo a Education.com.

3. Es una buena idea juntarse con un compañero o amigo a estudiar. Sirve para dos cosas: para que le preste los ejercicios o materia en casa de ausencia o cuando haya que estudiar para pruebas grandes armar un grupo de estudio.

4. Es recomendable analizar y entender cada error cometido en un ejercicio. Es importante arreglar los errores porque de otra manera lo más probable es que los vuelvan a cometer, según el portal estadounidense.

Extraído de Education.com

Asi que chicos, a echarle ganitassss......

jueves, 19 de septiembre de 2013

PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN

DE UNA RECTA

Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.

Si una recta pasa por dos puntos dintintos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esto es,

EJERCICIO PARA USTEDES:

Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.

1) (-3,4) y (6, -2)

2) (-3, -4) y (3, 2)

3) (-4, 2) y ( 3, 2)

4) (2, 4) y (2, -3)

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

TIPOS DE PENDIENTE

Pendiente	Tipo de recta
positiva	recta ascendente
negativa	recta descendente
cero	recta horizontal
no definida	recta vertical

PARA PRACTICAR:

Hallar la pendiente "m" y el ángulo de inclinación Ø de las rectas determinadas por los pares de los puntos siguientes:

1) A (5, 2) , B (9, 6)

2) C (-4, 2) , D (-4, 7)

3) E (-6, 4) , F (5, -8)

4) G (5, -9) , H (10, -9)

SOLUCIÓN

Consideremos los puntos B, D, F y G con sus coordenadas

y los puntos A, B, C, E, G como las coordenadas

y tendremos:

Demostrar que los puntos A(-3, -9) B(4, -3) y C(11, 3) son colineales.

SOLUCIÓN

Si los puntos están sobre la misma línea recta, sus pendientes deben ser iguales.

DEMOSTRACIÓN:

Pendiente de AB =

Pendiente de BC =

Pendiente de AC =

Ahora tracemos los puntos para verificar que son colineales.

EN EL SIGUIENTE ENLACE PODRÁS PRACTICAR

LOS TIPOS DE PENDIENTES VISTOS EN CLASE

http://www.ematematicas.net/pendienterecta.php?a=3

Espero les sirva, Éxito siempre :)

lunes, 16 de septiembre de 2013

Les dejo algunos videos del tema Área y Perímetros de

Polígonos, espero sean mas fáciles de comprender

Éxito siempre :)

http://www.youtube.com/watch?v=dgxbTA9tLPc

http://www.youtube.com/watch?v=9QEDqCMQ3-Q

http://www.youtube.com/watch?v=Kpxphsvtqjo

Se van a dar cuenta en el tercer video que pueden tomar un tipo formula para el área, siguiendo los pasos de la regla de sarrus pero sin hacer toda la columna, es exactamente lo mismo