La Circunferencia
Ecuación de la Circunferencia de centro (h,k) y Radio r. Consideramos la siguiente gráfica y consideramos un punto cualquiera de coordenadas P(X,Y):
Consideramos el triángulo CPQ y por diferentes de segmentos determinaremos el valor de los catetos:
Por teorema de Pitágoras: ( X - h )2 + ( Y - k )2 = r2 Ecuación de la Circunferencia fuera del Origen.
Ejemplos:
1.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (4,-3) y radio igual a 5. Trazar el lugar geométrico ( gráfica).
SOLUCIÓN:
Sustituyendo h=4, k=-3, r=5, en la ecuación.
SOLUCIÓN:
Sustituyendo h=4, k=-3, r=5, en la ecuación.
( X - h )2 + ( Y + k )2 = r2
( X - 4 )2 + ( Y + 3 )2 = 25
ó bien desarrollando los binomios:
X2 - 8X + 16 + Y2 + 6Y + 9 = 25
X2 + Y2 - 8X + 6Y = 0
Ejemplo:
2.- Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia X2 + Y2 - 8X + 6Y - 16 = 0
SOLUCIÓN:
X2 - 8X + Y2 + 6Y = 16
X2 - 8X + 16 + Y2 + 6Y+ 9 = 16 + 16 + 9
( X - 4 )2 + ( Y + 3 )2 =
Que es la forma ( X - h )2 + ( Y - k )2 = r2
Luego el centro es el punto ( 4 , -3 ) y el radio
EJERCICIOS:
PROBLEMAS PROPUESTOS
I.- Determina la respectiva ecuación de la Circunferencia, las coordenadas del centro ( h , k ), longitud del Radio y trazar su lugar geométrico ( gráfica ), en función de las siguientes condiciones;
1) De centro el punto ( -2 , 5 ) y el radio igual a 4.
SOLUCIÓN:
( X + 2 )2 + ( Y - 5 )2 = 16
X2 + Y2 + 4X - 10Y + 13 = 16
( X + 2 )2 + ( Y - 5 )2 = 16
X2 + Y2 + 4X - 10Y + 13 = 16
2) De centro ( 4 , -3 ) y diámetro igual a 6.
SOLUCIÓN:( X - 4 )2 + ( Y + 3 )2 = 9
X2 + Y2 - 8X + 6Y + 16 = 0
3) El diámetro es el segmento determinado por los puntos A( -3 , 3 ) y B( 4 , 7 ).
SOLUCIÓN:
+ ( Y + 5 )2 = 16
4X2 - 4X + 4Y2 + 40Y + 37 = 0
+ ( Y + 5 )2 = 16
4X2 - 4X + 4Y2 + 40Y + 37 = 0
4) De centro ( 6 , 1 ) y que pasa por el punto ( 9 , 3)
SOLUCIÓN:
( X - 6 )2 + ( Y - 1 )2 = 13
X2 + Y2 - 12X - 2Y + 24 = 0
( X - 6 )2 + ( Y - 1 )2 = 13
X2 + Y2 - 12X - 2Y + 24 = 0
1Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:
1
2
3
2Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.
3Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.
4Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
5 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación , y que pasa por el punto (-3,4).
LES DESEO EXITO EN SUS EXAMENES :)