La Circunferencia

Ecuación de la Circunferencia de centro (h,k) y Radio r. Consideramos la siguiente gráfica y consideramos un punto cualquiera de coordenadas P(X,Y):

Consideramos el triángulo CPQ y por diferentes de segmentos determinaremos el valor de los catetos:

Por teorema de Pitágoras: ( X - h )² + ( Y - k )² = r² Ecuación de la Circunferencia fuera del Origen.

Ejemplos:

1.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (4,-3) y radio igual a 5. Trazar el lugar geométrico ( gráfica).

SOLUCIÓN:

Sustituyendo h=4, k=-3, r=5, en la ecuación.

( X - h )² + ( Y + k )² = r²

( X - 4 )² + ( Y + 3 )² = 25

ó bien desarrollando los binomios:

X² - 8X + 16 + Y² + 6Y + 9 = 25

X² + Y² - 8X + 6Y = 0

Ejemplo:

2.- Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia X² + Y² - 8X + 6Y - 16 = 0

SOLUCIÓN:

X² - 8X + Y² + 6Y = 16

X² - 8X + 16 + Y² + 6Y+ 9 = 16 + 16 + 9 

( X - 4 )² + ( Y + 3 )² = 

Que es la forma ( X - h )² + ( Y - k )² = r²

Luego el centro es el punto ( 4 , -3 ) y el radio 

EJERCICIOS:

PROBLEMAS PROPUESTOS

I.- Determina la respectiva ecuación de la Circunferencia, las coordenadas del centro ( h , k ), longitud del Radio y trazar su lugar geométrico ( gráfica ), en función de las siguientes condiciones;

1) De centro el punto ( -2 , 5 ) y el radio igual a 4.

SOLUCIÓN:
( X + 2 )² + ( Y - 5 )² = 16
X² + Y² + 4X - 10Y + 13 = 16

2) De centro ( 4 , -3 ) y diámetro igual a 6.

SOLUCIÓN:( X - 4 )² + ( Y + 3 )² = 9

X² + Y² - 8X + 6Y + 16 = 0

3) El diámetro es el segmento determinado por los puntos A( -3 , 3 ) y B( 4 , 7 ).

SOLUCIÓN:
+ ( Y + 5 )² = 16
4X² - 4X + 4Y² + 40Y + 37 = 0

4) De centro ( 6 , 1 ) y que pasa por el punto ( 9 , 3)

SOLUCIÓN:
( X - 6 )² + ( Y - 1 )² = 13
X² + Y² - 12X - 2Y + 24 = 0

1Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:

1 

2 

3 

2Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.

3Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

4Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0,   x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

5 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación , y que pasa por el punto (-3,4).

LES DESEO EXITO EN SUS EXAMENES     :)